Prim & Kruskal Algorithm
转自：https://blog.csdn.net/qq_36951116/article/details/83089039
问题引出：假设要在n个城市之间建立通信网，则连通n个城市只需要n-1条线路。这时自然会考虑一个问题：如何在最节省经费的前提下建立这个通信网？
MST(minimal spanning treeproblem)
可以用连通网来表示n个城市以及n个城市之间的通信线路，其中，网的顶点表示城市，边表示两城市之间的线路，赋予边权值表示开设相应线路的代价。
这个问题就是最小生成树问题：求解连通无向图的权最小的生成树
Prim & Kruskal Algorithm 是利用MST性质构造最小生成树的两种算法。Prim算法用于稠密图效果更好，Kruskal算法则更适用于稀疏图。
MST性质
设G=(V，E)是一个连通网络，U是顶点集V的一个真子集。若(u，v)是G中一条“一个端点在U中(例如：u∈U)，另一个端点不在U中”的边(例如：v∈V-U)，且(u，v)具有最小权值，则一定存在G的一棵最小生成树包括此边(u，v)。
证明略去，具体可参考： https://blog.csdn.net/s_j_huang/article/details/79447041
Prim algorithm
算法思路：从已选顶点所关联的未选边中找出权重最小的边，并且生成树不存在环。
其中，已选顶点是构成最小生成树的结点，未选边是不属于生成树中的边。
（普里姆算法与求最短路径的迪杰斯塔拉算法思想很类似） 下面我们对下面这幅图求其最小生成树：
假设我们从顶点v1开始，所以我们可以发现（v1,v3）边的权重最小，所以第一个输出的边就是：v1—v3=1,
然后，我们要从v1和v3作为起点的边中寻找权重最小的边，首先了（v1,v3）已经访问过了，所以我们从其他边中寻找，发现(v3,v6)这条边最小，所以输出边就是：v3—-v6=4,
然后，我们要从v1、v3、v6这三个点相关联的边中寻找一条权重最小的边，我们可以发现边(v6,v4)权重最小，所以输出边就是：v6—-v4=2,
然后，我们就从v1、v3、v6、v4这四个顶点相关联的边中寻找权重最小的边，发现边（v3，v2）的权重最小，所以输出边：v3—–v2=5,
然后，我们就从v1、v3、v6、v4，v2这2五个顶点相关联的边中寻找权重最小的边，发现边（v2，v5）的权重最小，所以输出边：v2—–v5=3,
最后，我们发现六个点都已经加入到集合U了，我们的最小生成树建立完成。
Kruskal algorithm
算法思路：
（1）将边按权值从小到大的顺序添加到新图中，保证添加的过程中不会形成环
（2）重复上一步直到连接所有顶点，此时就生成了最小生成树。这是一种贪心策略。
将图中所有边按照权重的大小 从小到大一个一个按顺序组合成最小生成树，在组合过程新加入的边会导致生成树形成环，那这条边就舍弃，直到所有顶点都添加到生成树中为止。
这里同样我们给出一个和Prim算法讲解中同样的例子，模拟克鲁斯卡算法生成最小生成树的详细的过程：
首先完整的图如下图：
然后，我们需要从这些边中找出权重最小的那条边，可以发现边（v1，v3）这条边的权重是最小的，所以我们输出边：v1—-v3=1,
然后，我们需要在剩余的边中，再次寻找一条权重最小的边，可以发现边（v4，v6）这条边的权重最小，所以输出边：v4—v6=2,
然后，我们再次从剩余边中寻找权重最小的边，发现边（v2，v5）的权重最小，所以可以输出边：v2—-v5=3,
然后，我们使用同样的方式找出了权重最小的边：（v3，v6），所以我们输出边：v3—-v6=4,
好了，现在我们还需要找出最后一条边就可以构造出一颗最小生成树，但是这个时候我们有三个选择：（v1,V4），（v2，v3），（v3，v4）,这三条边的权重都是5，首先我们如果选（v1，v4）的话，得到的图如下:
我们发现，这肯定是不符合我们算法要求的，因为它出现了一个环，所以我们再使用第二个（v2，v3）试试，得到图形如下：
我们发现，这个图中没有环出现，而且把所有的顶点都加入到了这颗树上了，所以（v2，v3）就是我们所需要的边，所以最后一个输出的边就是：v2—-v3=5.
